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  学科“开放教学”研究成果

澳门网址下载|发展学生思维水平,培养推理能力
2020-01-08 10:21:15   来源:数学组    点击:

  

  一、推理能力的地位以及对八年级学生学习数学的重要性

  推理能力主要表现在:能通过观察、实验、归纳、类比等获得数学猜想,并进一步寻求证据、给出证明或举出反例;能清晰、有条理地表达自己的思考过程,做到言之有理、落笔有据;在与他人交流的过程中,能运用数学语言合乎逻辑地进行讨论与质疑 。

  《课程标准(2011)》:推理能力的发展应贯穿于整个数学学习过程中。推理是数学的基本思维方式,也是人们学习和生活中经常使用的思维方式。推理一般包括合情推理和演绎推理,合情推理是从已有的事实出发,凭借经验和直觉,通过归纳和类比等推断某些结果;演绎推理是从已有的事实(包括定义、公理、定理等)和确定的规则(包括运算的定义、法则、顺序等)出发,按照逻辑推理的法则证明和计算。在解决问题的过程中,两种推理功能不同,相辅相成:合情推理用于探索思路,发现结论;演绎推理用于证明结论。

  推理能力是以敏锐的思考分析、快捷的反应、迅速地掌握问题的核心,在最短时间内作出合理正确的选择。推理可分为演绎推理、归纳推理和类比推理。

  从已有的判断得出新判断的思维形式叫做推理,推理是常用的思维形式,人们经常通过推理,实现‘由此及彼’的思考跨越。

  从数学本身看,数学推理反映的是一种基本的数学思想,也是一种主要的数学方法。它与数学证明紧密关联,共同构成了数学最重要的基础。所以在数学学习中,培养学生的数学推理能力至为重要。

  合情推理是数学家乔治·波利亚对归纳推理、类比推理等或然性推理(即推理的结论不一定成立的推理)的特称。归纳推理(这里指不完全归纳)是特殊到一般的推理。而类比推理则是由两个或两类思考对象在某些属性上的相同或相似,推出它在另一属性上也相同或相似的一种推理。比如,类比整数乘法得到小数乘法运算定律、类比二维空间图形性质得到三维空间图形性质等等。而演绎推理则是从已有的事实(包括定义、公理、定理等)确定的规则出发,得到某个具体结论的推理,它是必然性推理(即只要推理前提真,得到的结论一定真)。它的思维进程是从一般到特殊,其基本形式是三段论,只不过在实际运用中,三段论的格式被简化成了“因为……所以……”的“连锁式”形式,而这恰恰是八年级学生学习数学时所要拥有的思维方式。

  心理学认为,演绎推理是必然性推理,只要推理的前提和线索正确,结果就一定正确。合情推理是或然性推理,即使前提正确,结论未必一定正确,其正确性需要证明。初中数学里的不完全归纳推理和类比推理,虽然难以进行严格的证明,还是应该让学生充分经历两个过程:一是广泛地列举具体事例,即学生人人举例,各人具的例子不同,从众多的实例中归纳出来的结论,可靠性和说服力会强些。二是积极寻找反例,只要能够找到一件反例,就否定了原来的结论。如果实在找不到反例,才能看成正确的结论。

  在初中数学的学习过程中,合情推理使学生“知其然”,演绎推理使学生“知其所以然”。

  二、八年级思维水平和推理能力现状

  为了更好地发展学生的思维水平,提高其数学核心素养,教师要重视概念与定理的教学,注重数学思想如分类讨论思想在教学中的应用,培养与提升学生思维能力。

  八年级学生整体思维水平发展较好,但不同学业水平的学生思维水平发展不均衡,不同思维水平上学生作答情况差距较大,说明学生成绩的差距与其思维发展水平息息相关。八年级学生思维水平与推理能力现状表现在以下几个方面:

  1.思维敏锐,但不成熟,可训练性

  八年级学生的数学思维多数处于形象思维阶段,抽象思维有一定的发展,但灵感思维很不成熟。很多时候找不到突破口,很难出现万“顿悟”,但在老师的点拨和训练下,他们的思维变得 很敏锐,不同的学生能从不同的角度加以解决。

  2.思维缺乏严密性。

  数学是一门具有高度抽象性和精密逻辑性的科学,论证的严密性是数学的根本特点之一。但是,由于认知水平和心理特征等因素,中学生思维过程常常 出现不严密的现象。

  如:概念模糊,判断错误,推理错误等。

  3.思维狭隘,不够广阔

  思维的广阔性是指思维活动发挥作用的广阔程度;它是一种不依常规,寻求变异,从多角度、多方面去思考问题,寻求答案的思维品质,其反面是思维的狭隘性,表现为思维的封闭状态.小学直到七年级,学生的习题中涉及到多个情况,多个可能的知识非常少,学生思考问题的角度与层面没有得到训练,想问题比较单一。

  三、教师澳门网址下载|发展学生思维水平,培养推理能力的措施

  1.几何方面

  推理能力在初中数学中具有重要地位,如《课程标准(2011年版)》指出:“推理是数学的基本思维方式,也是人们学习和生活中经常使用的思维方式。”学习数学就是要学习推理。推理能力的发展应贯穿在整个数学的各个学习内容中,雷磊老师在本次课例汇报中,习题边讲边归纳,使学生经历猜想-证明的问题探索过程,独立挖掘图形中隐含的条件,步步深入,从而推出正确选项。

  

例1:引导学生挖掘题目条件


  已知AB=AC,∠BAC=90°,直角∠EPF的顶点P是BC的中点。

  师:对于图中阴影部分面积,你有什么猜想?

       生:S阴影= 1578450244782964.pngS△ABC

  师:从题中条件,你能得到那些结论:

  生:1、三角形ABC为等腰直角三角形

  2、等腰三角形三线合一(AP是高,中线,角平分线)

  师:关注了线段,观察角,你还能得到信息?

  生:3、新的等腰三角形(三角形APC、三角形APB)

  4、AP=CP=BP

  师:题中还有没探究的条件吗?你还可以知道什么?

  生:∵ ∠EPF=90°, ∠APC=90°(已知)

  ∴∠CPF=∠APE,∠APF=∠BPE(等角余角相等)

  师:由角等,你可以证什么?

  生:全等:△EPB≌△FBA(ASA)

                   △AEP≌△CFP(ASA)

师:由以上这些结论,你能证明吗?

  生:S阴影=S△CFP+S△EPB=S△CFP+S△AFP= 1578450398824129.pngS△APC=S△ABC

  2.代数方面

  代数推理是初中数学教学过程中的重要过程之一。培养学生的推理能力,既要重视演绎推理也要重视合情推理,利用合情推理做出合情的猜想,再借助演绎推理加以证明,这才是数学推理的全过程。在中学数学中,教师要充分认识“数与代数”对培养学生推理能力的作用与价值,寻找和发现培养学生推理能力的途径。在概念、性质等的教学过程中、数学知识的应用过程中、探究性数学活动中都可以融入推理能力的培养。

  例:引导学生进行猜想

  已知,且

  师:对于这个式子,你想到什么?

  生:

             


  师:这两者之间有什么关系?

  生:

  师:对于已知条件,你将如何使用?

  生:∵

  ∴

  师:这样的结论,你的依据是什么?

  生:等式的基本性质。

  师:代数是一个很严密的推理过程,已知的有什么作用?

  生:最后结论起到限制作用。

  四、课堂实录

  推理能力的培养,需要老师在日常教学中不断的渗透,非一朝一夕就能完成的任务,在这个过程中特别需要关注学生的思维方式,而在数学教学中,代数与几何的学习都需要并涉及到推理能力,所以我们以一节综合试卷评讲课作为课例研究的展示课。

  雷磊老师这节试卷课教学目标明确,重难点突出,重点在于解决学生在考试中出错较多的疑难问题,难点在于利用试卷上的仅有的题目引导学生回顾已学的几何及代数相关知识。

  整堂课的教学主要分为两个部分。第一部分:几何题型讲解。雷磊老师以选择题第六题作为本节课讲解的第一题,从题目中抓取关键词“折叠”,提问学生:“看到这样的词,你能想到什么?”打开学生的思维,引出几何中的全等、对称等知识,由全等可得到角相等、边相等;由对称引出中垂线,利用中垂线性质得边相等,从而证明等腰三角形,接着引导学生复习证明线段相等的几种常用方法。在充分复习相关几何知识后,带领学生一起读题解题。由复习的中垂线知识点为契机讲解21题,并在具体讲解中渗透方程思想,利用线段之间的和差关系,设未知数求线段AD的长度。通过第六题为切入点,打开学生的思维,顺势讲解选择题最后一题,从题目已有的条件得出等腰直角三角形这个特殊的解题背景,从学生熟悉的图形出发,提问:“你可以得到什么?”“你可以证明什么?”“怎么证明呢?”通过引导性的语言,让学生利用等腰直角三角形的边角特性证明全等,从而一步步的分析问题,解决问题。从等腰直角三角形这个特殊的解题背景自然过渡到填空题最后一题,同样特殊的解题背景,两个等边三角形构成的手拉手模型,沿用前面同样的模式,提问学生“由这两个等边三角形你能得到什么?”“怎么证明?”把主体地位还给学生,让学生起来提出问题,分析问题,解决问题,在这个过程中,教师只扮演引导者的角色,由学生起来剖析这个较为复杂的几何模型,得出三组全等,从而达到解决问题的目的。

  第二部分:代数题型讲解。以完全平方式为考点的填空题第一题为开端,提问学生:“你印象中的完全平方式是什么形式?”“对照这题,你有什么想法?”学生在雷磊老师的引导下顺利说出分类讨论,接着就提论题,“这题应该如何处理?”从而解决问题。在讲解15题时,提问“看到X+这个式子你想到什么?”引导学生复习X、

两者和的平方、差的平方后,提问学生“如何使用条件X2-3X-1=0?”“现在你有什么思路?”学生在复习的基础上说出利用移项、等式两边同除以X解决办法,并且利用题目中X小于0这个条件排除掉其中一个答案。在对23题这道代数阅读理解题的讲解,一步步引导学生先确定答案是个两位数,接着确定这个两位数的个位数字,最后确定十位数字。

  本节课优点突出:

  1.开放教学理念贯穿教学过程始终。过程开放:以“你有什么想法?”“你怎么证明?”“你还有什么想法?”这样的开放性问题,使学生自主思考,达到真正的思维开放;形式开放:整个讲解过程,始终以学生为主体,让学生自主提出问题、分析问题、解决问题,打破了传统教学“教师讲、学生听”的僵化模式;评价开放:无论是分析问题还是解决问题的过程,全程是学生自主发现同学们的问题及优点,生生互评体现学生的主体地位。

  2.关注学生思维方式,渗透推理论证的一般方法。推理过程是一个论证过程,它必须要有理论依据,在教学过程中渗透数学推理论证的依据是已知条件和学生已学过的定义、定理、公理,培养学生的逻辑思维。

  3.善于归纳和总结。将试卷上的题目分为几何代数两个部分,分类进行讲解,让学生将所学的知识形成网络化。

  4.语言具有引导性。通过“你有什么想法?”“你可以证明什么?”“你有什么思路?”通过这种极具引导性的语言,引导学生一步步分析问题,从而达到解决问题的目的。

  改进方案:

  1.在讲解23题时,可以适当在黑板上板书,便于所有的同学能够跟上课堂节奏。

  2.在学生思维出现偏差时,教师可点明学生具体是出现的什么问题,例如是思维不够严密等等。


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